为什么自行车不会倒？这个数学问题在自行车诞生的两百年后才告解决

中国体育用品业联合会时间：2021-03-06点击：

在康奈尔大学助理教授吉姆·帕帕佐普洛斯（Jim Papadopoulos）位于波士顿家里的地下室里，斜靠着七辆自行车，有的掉漆了，有的轮胎没气了。作为他结婚礼物的自行车车架早已被厚厚的尘埃覆盖。他说：“我在搬家时丢弃了大部分实验用的自行车。”这就意味着，留下的自行车对他来说都有着特殊的意义。他说：“这些是我平时骑的。”

62 岁的帕帕佐普洛斯对自行车着迷了大半生，甚至达到了忘我的地步。在青年和大学时代，他曾参加过业余自行车赛，但他还对自行车背后更深层次的知识着迷。在骑车时他总是要思考背后的数学问题，其中最主要的是：自行车为什么不会倒？到底是什么看不见的力量让骑车人在踩踏板的时候还保持平衡？为什么要先把把手向右转才能使车倾向左边并向左转？以及，怎样使自行车在无人驾驶时还保持平稳行驶？

他年轻时在康奈尔大学当工程师，期间就努力钻研了这些问题。然而，他大部分的设想都没有发表，导致他最终退出了学术界。上世纪 90 年代末，他沦落到去一家生产厕纸制造机器的厂家工作。“如果最后没人发现你的作品，继续工作也毫无意义。”他说。

但是终于有人发现了他的工作。2003 年，他当年在康奈尔的老朋友和同事，工程师安迪·鲁伊纳（Andy Ruina），给他打了个电话，电话里说，一个来自荷兰的科学家阿伦·施瓦布（Arend Schwab）去了他的实验室，有意帮他重启关于自行车稳定性的研究。

“吉姆，我们需要你。”鲁伊纳告诉帕帕佐普洛斯。

两个轮子就好了

这几名研究者开始一起攻克这个困扰了科学家一个世纪的难题——自行车如何维持平衡，他们的结果发表在了《美国科学院院刊》（Proceedings of Royal Society）和 Science 杂志上。通过这些基础研究，他们力求把更高层次的科学知识注入全球市值达 500 亿美元的自行车工业。长久以来，这个行业主要依靠人们的直觉和经验，而不是严谨的数学。他们的研究成果可以带动这个行业所急需的创新想法，或许可以帮助设计师们发明更稳定、更安全的新一代脚踏与电动自行车。此外，关于自行车的见解还有潜力在其他行业发挥作用，例如假肢和机器人制造。

“所有人都会骑自行车，但没人知道我们是怎么骑上自行车的。”在加州大学戴维斯分校读体育机械学的工程师蒙特·哈伯德（Mont Hubbard）说。“单纯从学者的角度来看，关于自行车的研究本身就很有趣，但同时这些研究也很实用，因为它们能够帮助人们出行。”

对于机械工程师来说，关于自行车的难题有着特别的吸引力。鲁伊纳说：“我们机械工程师平时打交道的就是牛顿三定律，相当于还停留在数学、物理和工程紧密结合、密不可分的 19 世纪。”他说，自行车是该领域中为数不多的一个“碰巧跟日常生活有联系的数学问题”。

第一个老式自行车的专利可以追溯到 1818 年。经历不断的尝试和失败以后，自行车在 20 世纪初的时候进化成了类似现在的样子。但是，这么多年来，竟没有多少人想过它们为什么能运转，以及是怎么运转的。William Rankine，一个曾分析过蒸汽机的苏格兰工程师，在 1869 年首次提出了“反转向”现象，即要想向左转，骑车人必须先微微地把车把向右侧转动，才能让车身向左倾并成功左转。

倾斜和车把方向的联系赋予了自行车最神奇的特征：在行进时可以让车身平衡。如果猛推一下无人驾驶的自行车，它可能会先踉踉跄跄地行驶一阵，但总能恢复平稳向前行驶。1899 年，英国数学家 Francis Whipple 推导出最早的，也是最权威的自行车数学模型之一，就是为了探索这种自动稳定性。Whipple 把自行车模拟为四个固定的物体：两个轮子、一个上面坐着人的车架，以及车前身加把手，这四个部分由两条轴和一个中枢连接起来，并受到重力的作用。

把一辆自行车四个部分测得的数值代入模型，自行车的运动轨迹就像分解动画一般一帧一帧地放出来。此时工程师就可以用一种叫特征值分析（eigenvalue analysis）的手法来检验自行车的稳定性，就像检验飞机设计一样。1910 年，基于上述的分析，数学家 Felix Klein 和 Fritz Noether 跟理论物理学家阿诺尔德·索末菲（Arnold Sommerfeld，没错，就是量子力学的开山人物之一，海森堡、泡利等量子力学大佬都是他的学生）一起研究了陀螺效应，即旋转的轮胎不会倾斜的现象对自行车的影响。把一辆自行车向左推，快速旋转的前轮就会向左转，自行车能保持直立可能出于这个原因。

然而，1970 年 4 月，化学家、大众科学作家戴维·琼斯（David Jones）否认了这个理论。他在一篇发表在 Physics Today 的文章中描述了自己的研究：他造出了一系列根据索末菲等人的理论根本无法驾驶的自行车，在其中一辆自行车上，他安装了一个反向旋转的前轮，从而有效地抵消陀螺效应。根据索末菲等人的理论，这辆自行车应该无法保持平衡才对，然而他不用手也可以几乎毫不费力地驾驶。

这个发现促使他探索其他可能的影响因素。他将自行车前轮和商场购物车里能够转向手推方向的小脚轮做了对比。自行车的前轮相当于小脚轮，因为轮子与地面接触的点总是在把手轴后 5 至 10 厘米处。这个距离称为“曳距”（trail）。琼斯发现，当曳距过大时自行车会稳到骑着别扭，而曳距为负值的自行车则十分危险——它会让你在放开把手的一瞬间跌落。

琼斯总结道，当单车开始倾倒时，脚轮效应会使车的前端在重力下向回转，因而保持直立。他认为，小脚轮曳距是对自行车自稳性的唯一解释。在他四十年后发表的的回忆录里，他把这个发现当做自己一生中最重要的成就之一。“我现在被誉为现代自行车理论之父。”他宣称。

那篇文章，给当时还生活在俄勒冈州科瓦利斯市的青年帕帕佐普洛斯留下了深刻印象。他有着对数字的天赋，但他童年时的家庭十分不幸。他的父亲迈克尔是一个英国应用数学家，原本在俄勒冈州立大学工作，却因为反对越南战争而没获得终身教授职位。接下来的十年中，迈克尔一直在法庭上跟让他失业的大学做斗争，而他的家人只能从垃圾堆里捡破烂来维持生计。70 年代初，吉姆的母亲自尽了。“在我刚刚开始认识这个世界，认识我自己的时候，”帕帕佐普洛斯说，“我的家庭就破碎了。”

在这时候，自行车给了他慰藉。他留着齐肩长发，在小镇里到处踩着他的 Peugeot AO8。他不再去上学，成绩一落千丈。17 岁的时候他辍了学，离开了家。但在他放弃学业之前，一位老师给他读了琼斯的文章。

帕帕佐普洛斯觉得这篇文章有趣又扑朔迷离。他想：“我必须要学会这些东西。”他在加州伯克利附近游荡了一个夏天，利用空余时间读着 George Arfken 的《物理学家的数学方法》教材。接着他在俄勒冈州尤金市的一家胶合板厂工作，从此挣到了足够的钱，买下了他每周末比赛时骑的传奇版 Schwinn Paramount 自行车。1973 年，他去了英国利物浦为生产自行车架的 Harry Quinn 公司工作，但他表现并不好，导致 Quinn 开除了他。

1975 年，帕帕佐普洛斯回到俄勒冈，在俄勒冈州立大学上了一年学后转到麻省理工学院读机械工程的本科，并取得了优秀的成绩。埃克森石油公司（Exxon）资助他完成了固体力学的博士学位。他的本科导师 Michael Cleary 非常看好帕帕佐普洛斯在学术界的前途，他告诉埃克森公司内部杂志的作者：“我觉得吉姆会成为一名大学教授——我当然希望他留在麻省理工。”

然而，帕帕佐普洛斯却有其他的打算。他一直在研究 Whipple 的自行车模型和琼斯的文章，并在某个暑假参加了在美国地质调查局的实习。在这里，他第一次遇到了后来的合作伙伴安迪·鲁伊纳（Andy Ruina）。

他们马上成为了亲密的朋友。当鲁伊纳得到了康奈尔大学的教职后，他就雇佣了帕帕佐普洛斯为博士后。“我们无时无刻不在讨论自行车，但我没想到他会这么严肃地对待它。”鲁伊纳说。

帕帕佐普洛斯说服鲁伊纳，也许自行车公司像石油公司一样有兴趣为学术研究提供经济支持。于是他开始向自行车制造商筹款：“捐 5000 美金，你就可以成为康奈尔自行车研究项目的赞助方！我们有志研究关于自行车的一切，从轮胎强度到雨中刹车失灵问题等各个方面的问题！”

帕帕佐普洛斯的第一个目标，就是研究到底是什么因素导致有的自行车比其他自行车更平稳。他坐在办公室里，细细研读了 30 篇别人发表的自行车运动公式，得出的结论是他对这些研究之拙劣感到很吃惊。公式是把自行车车架的几何构造与操控过程联系起来的第一步，但是这些论文中提出的每个新模型都很少引用之前的作品，许多论文错误连篇而且难以互相对比，他只能从零开始。

经过一年的努力后，他自认为掌握了明确的一系列公式。现在，到了让这些式子助力他的研究的时候了。“我会盯着这些等式坐上好几个小时，尝试找出它们背后的含义。”他说。

首先他根据琼斯提出的关键变量——曳距重写了自行车公式。根据琼斯的结论，当曳距为负值时自行车本该会不平稳，但他的计算结果却显示并非如此。他在当时撰写的一篇报告中画出了一辆从把手向前伸出一个重物的怪异自行车：“重心稍微前移可以弥补轻微负值的曳距……似乎自行车的自稳性并不是由单一变量决定的。”

这个发现意味着，自行车容易驾驶与否，并不能由一个简单的法则决定。曳距或许有些作用，陀螺效应和重心或许也有些作用。对于帕帕佐普洛斯来说，这一发现有重大启示。最早的车架建筑师只是碰巧发现了一个感觉可行的设计，然后就一直被局限在小范围的几种设计方案中，但其实，或许还有大量没被尝试过的几何形状可以改革自行车的设计。

两年后，鲁伊纳已经资助不起帕帕佐普洛斯了。除了自行车制造商 Murray，他们得到的仅有的两家赞助来自 Dahon 和 Moulton，两家小轮自行车的制造商，大概是因为小轮自行车特殊的设计使它们比较难骑。鲁伊纳开玩笑说，他们应该把项目名称改为 “折叠自行车研究项目”，真是黑色幽默。

虽然帕帕佐普洛斯在自行车的数学理论方面取得了进展，但他只发表了一篇作为第一作者的论文。“我觉得，发现新事物和钻研细节比把它们写下来有趣多了。”他说。既得不到资金，又发表不出论文，他的自行车研究生涯渐渐结束了。1989 年，他把他的自行车装进一辆面包车，开去了他当时妻子工作的伊利诺伊州，在学校和工厂忍受着他厌恶的工作。在空余时间他为《硬核自行车爱好者》杂志建立并维护了自行车科学爱好者的电子邮件名单，也帮忙给电视真人秀 Junkyard Wars 造了一辆能塞进行李箱的车。

2001 年，来自麻省理工的工程师，发明了最早的现代躺车（recumbent bicycles）之一的 David Wilson 邀请帕帕佐普洛斯与他合著《自行车科学》（Bicycling Science）的第三版。然而，当时的帕帕佐普洛斯却正被债务和责任压得喘不过气。他连第一章都没能写完发给 Wilson，后来直接连邮件都不回复了。Wilson 觉得自己被背叛了。“他是个非常聪明的人”，Wilson 说，“但他总是无法完成任何事。”不过，帕帕佐普洛斯说他其实完成了任务——不过比预期的耗时长了两年罢了，当时心力交瘁的他正经历一场难熬的离婚。

在康奈尔，鲁伊纳继续研究自行车。他把之前研究团队对自行车的见解应用在了一个新的领域——机器人上。他认为，如果自行车可以不借助控制系统而展现如此优雅的稳定性，那或许也可以设计出一种能如此行驶的极简行走机器。1998 年，他跟荷兰代尔夫特理工大学的施瓦布的研究生学生 Martijn Wisse 合作，制造出了一个可以完全不用马达走下缓坡的两脚机器，它能把能量储存在摆动的手臂里。在此基础上加上几个电子马达，一个可以在平地上行走的节能机器人就诞生了。

2002 年，施瓦布决定跟鲁伊纳一起过年假，然后他们讨论到了以前的自行车研究项目。这时鲁伊纳给帕帕佐普洛斯打了个电话，并上门造访了他。“这是我第一次见到那个天才。”施瓦布说。

随着路上的自行车越来越多，施瓦布觉得不可理喻的是竟然没有人发表过正确的自行车公式组，更不用说把这些公式应用在解决自行车设计的难题上。他和一位现在位于荷兰特温特大学的工程师 Jaap Meijaard 分别独立推理出了自己的公式，这与帕帕佐普洛斯的公式完全相符。他们在韩国一个工程会议上展示了最终的自行车公式，然后四人联合发表了结果。

现在的问题就是要证明，这不仅仅是个数学发现。施瓦布和学生花了一年时间建造出了一个负值曳距极小，却具有自稳性的自行车。这辆车看起来就像是单脚滑板和跷跷板的结合体，一个重物从前轮向前伸出，还有一个反向旋转的车轮来抵消陀螺效应。在一个它滑行的视频中，你能看到它先倾斜并向右转，但接着就自己恢复平稳。这个实验证实了帕帕佐普洛斯的观点，即自行车稳定与否由多种因素共同决定。

然而，在自己的发现在30年之后终于为更多人所知的时候，帕帕佐普洛斯却忍不住感到失望。“这并没有如我们想象那般改变一切。”他说。自行车架的设计仍然年年如一。“大家都还无法打破常规思考。”他说。尽管如此，其他的研究者们也跟上了他们组的轨迹，在 2010 年，终于举办了一场关于自行车与电动车动力学的会议。会议召集了来自世界各地的工匠，其中一些人也制造了怪异的实验性自行车，用来验证设计原理。

去年这项会议的组织者是来自加州大学伯克利分校的工程师 Jason Moore，他力求寻找自行车车架的几何形状与操作简便程度之间的联系。这项工作受启发于关于飞行员的军事研究。Moore 通过在装满传感器的自行车上进行一系列演习，监测了车把方向，倾角和速度，创建了一个人类控制自行车的模型。为了只通过车把来平衡和骑行（而不是重心的移动），他不得不穿上刚硬的马具把自己绑在自行车上。这项研究证实了自行车越平稳越好驾驶这一长期以来的假设，或能为车架建筑师们提供优化设计的工具。

这同时也引入了一个难题：实验实测车把所需的转矩是 Whipple 自行车模型预测的二至三倍。这个差异或许源于模型里没有包含的轮胎摩擦和弯曲，但并不能盖棺定论。为便于实验，Moore 和他的同事们建造了一个可以平衡自身的机器人自行车。“只要有个机器人自行车，你就可以做很多疯狂的实验，不用让真人骑上去冒险了。”他说。（他之前的一个控制实验要让木棍猛地侧击自行车，还要保持平衡。）其他许多无人驾驶的自行车机器人需要靠内部的陀螺来保持直立，但这个机器人只靠车把。Moore 已经把它寄给施瓦布做更深入的研究了。

今天，施瓦布拥有了帕帕佐普洛斯梦寐以求的实验室，帕帕佐普洛斯也为能够与他合作感到不胜感激。“这是我能想象到的最美好的东西。”他说。施瓦布其他的研究项目包括一个将把向运动跟平衡运动分离的“线把向” 自行车，还有一个可以在低速行走时保持平稳的 “辅助把向” 自行车。他还发明了一种能展现自稳性的后轮转向躺车，用放大的前轮来增大陀螺效应的放大的前轮。后转向躺车最大的好处是需要的车链比传统躺车更短，因而能更有效地传递能量。“有人之前尝试过，但并不能驾驶。”施瓦布说。

淡出学术圈已久的帕帕佐普洛斯如今在位于波士顿的东北大学任教，开始再次尝试进入学术圈。他开始建立合作关系，验证一些蛰伏已久的关于为什么自行车在高速行驶时会摇晃的猜想。他相信，能够用一个消音器吸收坐杆处的震动，从而减少晃动。他跟同事和学生也由此开始探索一系列其他问题，有些甚至跟自行车本身没有太大关系了。

在他的地下室，帕帕佐普洛斯打开了一个褐色备案柜的抽屉，翻起了皱巴巴的马尼拉文件夹。上边标记着“胎压”，“生物动能”，和“康奈尔”。他拿出一本教科书：“运动生理学？我从未认真读过。”他说着，把书丢到一边。在抽屉深处，他找到厚厚一本文件夹的自行车研究方案，上面标记着“未完成”。

Papadopoulos 沉思了一秒，把标签改成了“基本未完成” 。

来源：运动科学论坛

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